Astronomie

Une trajectoire parabolique existe-t-elle vraiment dans la nature ?

Une trajectoire parabolique existe-t-elle vraiment dans la nature ?


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Il semble qu'il soit très difficile d'avoir e=1 parfaitement dans la nature. L'état final (capture ou fuite) d'un corps céleste à trajectoire parabolique, est-il déterminé par une perturbation mineure ?


Non, mais les trajectoires elliptiques ou hyperboliques non plus. Ce sont des caractéristiques d'un modèle que nous avons pour la gravité, qui ne font pas partie de la nature.

Le processus de modélisation implique la construction d'un cadre mathématique qui décrit un système naturel et permet des prédictions. On dit souvent qu'"aucun modèle n'est correct, mais certains modèles sont utiles". Pour la gravité, un modèle commun est le modèle newtonien. Dans le modèle newtonien, vous pouvez configurer deux particules de telle sorte que l'une suive une courbe parabolique (dans un référentiel inertiel) Des trajectoires paraboliques existent dans le modèle newtonien.

Dans la nature, il y a plus de deux particules dans l'univers et il n'y a donc pas de trajectoires paraboliques, elliptiques ou hyperboliques. De plus, le modèle newtonien est connu pour n'approcher que la gravité (même la relativité générale est probablement une approximation, la gravité est probablement une sorte d'interaction quantique. Mais les détails ne sont pas encore connus)

Cependant. Le modèle newtonien est un modèle très utile pour la dynamique du système solaire. Les comètes à longue période, tombant du lointain nuage d'Oort, auront des orbites très longues et bien approchées par des paraboles. (mais seulement approchée, car les comètes, en particulier, ont des accélérations non gravitationnelles importantes dues aux forces de réaction du dégazage, en plus des perturbations gravitationnelles des planètes, et des effets de la forme non sphérique du soleil)


Une trajectoire parabolique existe-t-elle vraiment dans la nature ?

C'est une excellente question! Mais posons d'abord deux questions plus simples, puis revenons à la vôtre.

  1. Les orbites képlériennes (circulaires, elliptiques, paraboliques, hyperboliques) existent-elles dans la nature ?
  2. S'ils le faisaient, quelle fraction serait parabolique ?

La réponse à #1 est non. S'il n'y avait que deux objets sphériques dans l'univers, chacun ne serait affecté que par l'autre. Dans ce cas, leur trajectoire serait képlérienne.

La réponse à #2 est zéro, et c'est pour la raison que vous soupçonniez ; l'excentricité devrait être exactement unité, et pour tout nombre fini d'excentricités qui peuvent se produire, il n'y a aucune probabilité finie qu'une valeur exacte apparaisse. Il n'y a aucune chance d'excentricité de 0, 0,5 1, 2 ou tout autre nombre spécifique.

Mais à votre question sur une population d'orbites du monde réel, celles qui ont des excentricités de 0,01 à 0,99, nous pouvons les appeler en toute sécurité elliptiques, car à court terme au moins, elles ne seront pas assez affectées par la gravité des autres objets du système solaire. pour les pousser à exactement zéro, ou à et au-delà de 1.

Pour les orbites si proches du bord poilu comme une excentricité de 0.99999999, ou 1.00000001, nous pourrions parfois les appeler "paraboliques", mais dans ces cas, nous comprendrions qu'il n'y a pas de orbite exactement parabolique et que l'obit peut facilement changer entre les états liés et non liés en raison d'une faible force perturbatrice par un autre corps.


Réponse courte: Oui, des orbites avec une valeur $e=1$ existe certainement. Un objet perturbé hors d'un état lié de $e<1$ à $e>1$ doit à un moment donné avoir une valeur de $e=1$.

Longue réponse: Le théorème des valeurs intermédiaires indique que pour une fonction continue $f$, si $f(t_1)=x_1$ et $f(t_2)=x_2$, alors pour toute valeur $x$ dans l'intervalle $(x_1,x_2)$, il existe une valeur $t$ dans l'intervalle $(t_1,t_2)$ tel que $f(t)=x$.

Pour les corps réels, nous pouvons supposer que l'excentricité est une fonction continue du temps puisque la position et la vitesse sont des fonctions continues du temps (nous supposons qu'il n'y a pas de téléportation ou de moteurs à accélération infinie).

Si nous appliquons le théorème des valeurs intermédiaires à l'excentricité d'une orbite lorsqu'elle passe par un état lié à $t_1$ où l'excentricité $e_1 = 0.999$ à un état non lié à $t_2$ où l'excentricité $e_2=1.001$, puis là doit être au moins une valeur $t$, $t_1<><> telle que l'excentricité est $1$ au moment $t$.

Remarques:

  1. La preuve ci-dessus fonctionne pour les corps perturbés hors de ou alors dans un état lié gravitationnellement (avec bande dessinée XKCD obligatoire):

  1. La trajectoire orbitale résultante n'apparaîtra pas exactement parabolique dans la plupart des systèmes de coordonnées car elle aura une valeur de $e=1$ pendant une durée infiniment courte.

  2. Nous pouvons également définir un système de coordonnées dans lequel une orbite est parfaitement parabolique en utilisant les mêmes méthodes que j'ai utilisées ici.


Sûr. Allez sur la lune et lancez une pierre.

Lorsque vous êtes sur une planète sans atmosphère, comme la Lune, la gravité peut être considérée comme un champ orienté dans une direction constante, vers le bas, et sa force est effectivement une valeur constante dans une direction constante. Lorsque cela se produit et qu'il n'y a pas d'atmosphère pour provoquer une résistance au vent, alors la trajectoire d'un objet jeté dans l'espace et ne subissant aucune autre force sera de forme parabolique lorsqu'il monte puis redescend, tant que sa vitesse initiale ne ne dépasse pas la vitesse de fuite de la planète, et elle ne parcourt pas assez de distance (verticalement ou horizontalement) pour que la force de gravité change notablement.


Que vous atteigniez l'apesanteur proche ou totale dépend de la précision de la trajectoire parabolique. Ce n'est que s'il est précis à 100 % que le plein effet de la gravité sera annulé. En pratique, rien n'est jamais parfait, il y aura donc toujours du poids résiduel. Cependant, ce poids peut être positif ou négatif. Si l'arc est trop peu profond, il ne compense pas tout à fait la gravité et vous sentirez toujours un poids (positif) vers la terre. En revanche, si l'arc est trop raide vous ressentirez une force (poids négatif) s'éloignant de la terre. En d'autres termes, vous dériverez vers le plafond de l'avion. Alors oui, en pratique il y a toujours du poids résiduel.

Notez que la même chose s'applique même aux satellites. Ils ne subissent jamais une absence totale de poids, il y a toujours des effets résiduels mineurs. C'est pourquoi les gens parlent d'un « environnement de micro-gravité ».

Je dois aussi préciser que ce qui disparaît (presque) c'est le poids, ne pas la gravité. La gravité est toujours présente, peu importe ce que vous faites ou où vous êtes. La seule façon d'échapper à la gravité est d'être infiniment loin de toute autre masse - mais même alors, la masse de votre vaisseau spatial vous affectera gravitationnellement.

La réponse dépend de la définition du mot poids, qui dicte ensuite le sens du mot apesanteur. Bien sûr, il peut y avoir, et il y a, plusieurs définitions. Comme beaucoup (sinon la plupart) des affiches ici sont des experts (quoi que cela puisse signifier) ​​en physique ou en astronomie, ils ont bien sûr une plus grande bibliothèque intellectuelle dans laquelle puiser. Certains d'entre nous ont des publics spécifiques à l'esprit lorsque nous répondons aux questions ici. Je soutiens que le public doit inclure des étudiants d'introduction qui peuvent, en effet certainement, chercher ici des réponses.

Dans la littérature d'introduction à la physique, le poids est généralement défini comme

1) la force sur un objet due à l'interaction gravitationnelle avec la Terre

2) la force de contact sur un objet, mesurée par une balance à ressort, due à l'interaction gravitationnelle avec la Terre.

Par définition 1 (qui était la définition qui m'a été présentée dans mes cours de premier cycle et de deuxième cycle dans deux universités), le poids est le surnom de la force gravitationnelle sur un objet due à la Terre. Peu importe où se trouve l'objet, il a un poids bien défini. Au cours d'un vol parabolique, les passagers ressentent essentiellement la même attraction gravitationnelle vers la Terre qu'ils expérimentent debout sur le sol. L'attraction ne diminue que d'environ 10 % en orbite terrestre basse (par exemple à bord de l'ISS).

Une conséquence potentielle de la définition 1 est que si l'objet sur Mars, a-t-il encore du poids ? C'est le cas, mais ce poids implique toujours une interaction avec la Terre. Il y a aussi évidemment une interaction gravitationnelle avec Mars, mais si nous adhérons à la définition 1, nous ne pouvons pas nommer cette force poids.

Ce que la plupart des profanes et des étudiants entendent par apesanteur, c'est l'absence de contact, qui est un mot inventé, mais qui reflète avec précision la physique sous-jacente. Lorsque le sol ou le siège qui nous soutient est en chute libre avec nous, nous ne sentons pas sa présence et nous sommes ainsi amenés à penser que nous sommes en apesanteur. En réalité, ce que nous ressentons, c'est l'absence d'une force de contact de soutien sur nous. Ainsi, lorsque l'avion entre en chute libre, les astronautes le font aussi et perdent le contact avec le sol de l'avion. Comprenez qu'ils ne flottent pas. Ils sont simplement en chute libre, mais l'avion aussi. La force gravitationnelle que la Terre exerce sur eux lorsqu'elle est au sol agit toujours sur eux. Ils ne pourraient pas faire l'expérience de la chute libre si ce n'était pas le cas. La force gravitationnelle que la Terre exerce sur l'avion lorsqu'il est au sol agit toujours sur lui aussi. Il ne pourrait pas tomber en chute libre s'il ne le faisait pas.

Certains manuels d'introduction définissent le poids comme la lecture sur une balance à ressort lorsque l'objet est sur la balance, et c'est en effet une définition opérationnelle correcte du poids, à moins que vous ne vous attendiez à un accord numérique avec la définition 1 tout le temps. La balance ne mesure pas le poids gravitationnel de l'objet si vous accélérez le nombre dépend de l'état de mouvement de l'objet. En général, la balance à ressort ne mesure que l'amplitude de la force de contact pressant contre l'objet, et il se trouve que si l'objet (et la balance) n'accélèrent pas verticalement, son poids est numériquement égal à la force de contact sur vous à partir de L'échelle. Cette approche ne doit pas être utilisée, en particulier dans les cours d'introduction, car sa dépendance à l'accélération est déroutante pour les non-experts.

Une conséquence potentielle de la définition 2 est que sans force de contact, il faut alors se demander comment et pourquoi les choses flottent à l'intérieur d'un vaisseau spatial en orbite terrestre basse, et ce problème est inévitable même chez les étudiants avertis. Oui, les experts parmi nous savent qu'il n'y a pas de flottement et que l'engin et ses occupants sont simplement en chute libre.

En fin de compte, le concept d'interaction gravitationnelle sous-tend cette question, et personne n'a jamais ressenti directement (au sens traditionnel) une telle force. Nous sentons les sols, les sièges et d'autres personnes se presser contre nous, mais ce sont toutes des forces de contact, pas des forces gravitationnelles. Dans certaines circonstances, n'importe laquelle de ces forces peut avoir la même amplitude que notre poids, mais pas en général. Einstein dirait que c'est parfaitement logique, car les forces gravitationnelles n'existent pas réellement en premier lieu. Il soutiendrait que l'attraction gravitationnelle est causée par la géométrie de l'espace-temps, et non par une force mystérieuse. Notez que la force est un concept originaire de la mécanique newtonienne, mais n'est pas nécessaire dans toutes les explications de l'attraction gravitationnelle et donc d'une utilité limitée.

En ce qui concerne les sources utilisant la définition 1, la NASA crée des problèmes pour les étudiants et les profanes intéressés en propageant le terme d'apesanteur. Pour les sources utilisant la définition 2, cette complication particulière n'existe pas, mais une autre découle de la nécessité d'impliquer l'accélération. Lequel est le meilleur n'est pas dicté par le plus fréquemment utilisé, car cela constitue un appel fallacieux au peuple et peut-être aussi un appel fallacieux à l'autorité. Lequel est le meilleur devrait être dicté par celui qui cause le moins de confusion et le moins d'idées fausses, un critère facilement mesurable en classe.

Quelle que soit la définition du poids que l'on utilise, j'espère que nous pourrons convenir que si les passagers et les avions sont tous en chute libre, il y a quand même une force gravitationnelle due à la Terre sur eux, et que cette force existe quoi qu'il arrive, et qu'aucune force de contact (hormis le fait de heurter accidentellement l'intérieur de l'avion ou un autre passager) n'existe entre l'avion et le passager.


Crédits du site

Ce site regroupe les œuvres accumulées de Dale Stille, Carol Hart, Jeremy Eble, Chad Johnson, Adam Johanns, Kathleen Lehman, Megan Yasuda, Lora Yekhshatyan, Lifiana Somantri, Sutan Suly, Tom Zimmerman, Nathan Quarderer, Donald Frank, Jacob Lamb, Adam Buffington, Danielle Boffice, Kevin Clark, Trenton Humphrey, James Rowden, Daniel Reinart, Jacob Hansen, Elle Connolly, Kaelan Lloyd et Jonathan M. Sullivan-Wood.


Département de physique et d'astronomie
Ressources pédagogiques et démonstrations magistrales

Dale Stille - Spécialiste des ressources pédagogiques

L'université de l'Iowa
58 Salle Van Allen
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Les erreurs de Galilée sur le mouvement et l'inertie des projectiles

Galilée obtient le crédit qu'il ne mérite pas pour la nature parabolique du mouvement des projectiles, la loi d'inertie et le principe de relativité « galiléen ». En réalité, ses traitements de toutes ces questions étaient criblés d'erreurs et de malentendus fondamentaux.

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Ramassez une pierre et lancez-la devant vous. Il fait une parabole. La trajectoire de son mouvement est parabolique. C'est la grande découverte de Galilée, non ? Eh bien pas vraiment. Galilée le prétend mais il ne le prouve pas. Même le propre disciple de Galilée, Torricelli, l'a reconnu. Le résultat est « plus souhaité que prouvé », comme il le dit, très diplomatiquement.

Et la raison pour laquelle Galilée ne le prouve pas est révélatrice. C'est dû à un malentendu physique de base.

La bonne façon de comprendre le mouvement parabolique de projectiles comme celui-ci est de l'analyser en termes de deux composantes indépendantes : le mouvement inertiel et le mouvement gravitationnel. Si nous ne tenons pas compte de la gravité, la roche continuerait à suivre une ligne droite pour toujours exactement à la même vitesse. C'est la loi de l'inertie. Mais la gravité le tire vers le bas selon la loi de la chute. La roche tombe donc en dessous de la ligne d'inertie de la même distance qu'elle serait tombée en dessous de son point de départ dans ce laps de temps si vous l'aviez simplement laissée tomber tout droit au lieu de la jeter. Un fait essentiel de la physique élémentaire est que le chemin résultant composé de ces deux mouvements a la forme d'une parabole.

Galilée ne comprend pas la loi d'inertie, et c'est pourquoi il échoue sur ce point. Si le projectile est tiré horizontalement, comme par exemple une balle roulant sur une table, alors Galilée prouve qu'il fait une parabole. Il le prouve de la bonne manière, comme je viens de l'esquisser, par la composition du mouvement inertiel et gravitationnel.

Mais si vous jetez la pierre sous un autre angle, pas horizontalement, alors Galilée n'ose pas faire une telle analyse. C'est parce qu'il pense que la loi de l'inertie n'est peut-être pas vraie pour de tels mouvements. Il pense que si vous lancez un rocher à un angle ascendant, alors peut-être que le rocher n'aura pas une telle disposition inertielle pour continuer dans cette direction avec cette vitesse. Au lieu de cela, nous pensons que le mouvement va peut-être ralentir progressivement, comme une balle luttant pour rouler sur une colline ou un plan incliné.

Galilée n'affirme ni cette mauvaise forme d'inertie ni la bonne. Il équivoque et ne prend jamais position, parce qu'il n'est pas sûr. Et c'est pourquoi il ne peut pas donner une preuve correcte du théorème du mouvement parabolique. Même si une telle preuve était tout à fait à sa portée. En fait, Cavalieri, qui était un meilleur mathématicien, avait déjà publié cette preuve, l'analyse correcte du mouvement parabolique, avant que Galilée n'écrive son livre.

Ce n'est donc pas que ce genre de choses était hors de portée des méthodes mathématiques et scientifiques de l'époque. Au contraire, cela était déjà explicitement et correctement énoncé dans un livre publié dont Galilée était au courant. Et Galilée se trompe toujours dans son œuvre célèbre. Ce n'est tout simplement pas un très bon physicien.

Ok, donc c'est la grande image sur le mouvement parabolique. Maintenant, je veux entrer plus en détail sur ces choses. Prenons d'abord du recul et regardons l'inertie en général.

Voici la loi d'inertie de Newton : « Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement uniformément droit, sauf dans la mesure où il est contraint de changer d'état par des forces imprimées. C'est tiré des grands principes de Newton de 1687. C'est la loi 1 de ce travail. Une pierre angulaire de l'ensemble.

Dans Galileo, il n'y a rien de tel. Même les plus fervents admirateurs de Galilée l'admettent. Voici Stillman Drake, le grand défenseur de Galileo. Même lui, et je cite, « admet librement que Galilée n'a formulé qu'une loi d'inertie restreinte » et qu'« il a omis d'énoncer explicitement le principe général d'inertie » que tout le monde connaît aujourd'hui, qui a été au contraire correctement « formulé deux ans après sa mort par Pierre Gassendi et René Descartes.

C'est l'interprétation charitable. C'est le point de vue des partisans les plus engagés de Galileo. Et c'est plutôt trop gentil, à mon avis. Tenter d'attribuer à Galilée une sorte de « loi d'inertie restreinte » est une affaire douteuse. Stillman Drake essaie de le faire, et voici ce qu'il dit : « à mon avis, le noyau essentiel du concept inertiel réside dans les idées de l'indifférence d'un corps au mouvement ou au repos et sa persistance dans l'état qui lui a été donné. Cette idée est, à ma connaissance, originale avec Galileo.

Vous pourriez très bien affirmer que ce n'est pas vraiment de l'inertie car cela n'implique pas la rectitude de la direction du mouvement, et cela ne dit pas explicitement que le mouvement continue à une vitesse constante et uniforme. Il se concentre uniquement sur l'indifférence du mouvement par rapport au repos et la préservation de l'état de mouvement.

C'est donc "le noyau essentiel du concept inertiel" selon les défenseurs de Galilée. C'est très pratique. Galilée a la moitié des propriétés de l'inertie correctes et à moitié fausses, alors ses partisans essaient de le faire tourner et de dire que les parties qu'il a bien obtenues sont « le noyau essentiel », vous voyez, et les autres choses sont juste secondaires de toute façon, donc ce n'est pas le cas. Peu importe que Galilée se soit trompé sur tout ça.

Bien sûr, si vous êtes autorisé à choisir comme ceci la moitié de l'inertie que vous pensez être importante, vous pouvez trouver des preuves que cette partie est Galileo. Par exemple, Galilée dit à juste titre : « Personne ne pourrait dire pourquoi une chose une fois mise en mouvement devrait s'arrêter n'importe où car pourquoi devrait-elle s'arrêter ici plutôt que là ? De sorte qu'une chose soit soit au repos, soit doit être déplacée à l'infini, à moins que quelque chose de plus puissant ne se mette sur son chemin. »

Effectivement, c'est l'indifférence du mouvement par rapport au repos et la préservation de l'état de mouvement, le prétendu «noyau» du concept inertiel. Quel crédit pensez-vous que Galileo mérite pour cela ? Pour obtenir la moitié de l'inertie, n'est-ce pas ? Peut-être pensez-vous que c'était l'étape difficile, la révolution conceptuelle, et qu'ensuite il était facile pour Newton et d'autres de remplir les détails en poursuivant simplement ce que Galileo avait commencé.

En fait, je t'ai piégé. La citation que je viens de lire n'est pas du tout de Galilée. J'ai menti. La citation est d'Aristote. C'est de la physique d'Aristote, écrite deux mille ans avant Galilée. Donc, si vous pensez que c'est "le noyau essentiel du concept inertiel", alors Aristote était le pionnier quasi newtonien qui l'a conçu, pas Galilée.

Cette affirmation est plutôt isolée chez Aristote et ne faisait pas vraiment partie d'un traitement physique soutenu et cohérent du mouvement comparable à la façon dont nous utilisons l'inertie aujourd'hui. Aristote, comme d'habitude, se concentre sur des objectifs beaucoup plus philosophiques. Alors vous pourriez dire : c'est une citation unique sortie de son contexte qui semble beaucoup plus moderne qu'elle ne l'est en réalité.

En effet. Mais là encore, on pourrait en dire autant de la soi-disant loi de chute d'Aristote que Galilée a réfutée avec tant de fanfare. Cela aussi n'est mentionné qu'en passant très brièvement et ne joue aucun rôle systématique dans la pensée d'Aristote. Pourtant, Galilée est très fier de vaincre cette remarque fortuite, et ses fans modernes l'en félicitent vivement. Donc, si nous voulons rejeter la déclaration semblable à l'inertie d'Aristote comme insignifiante, alors, par la même logique, nous devrions également rejeter tous les efforts de Galilée pour réfuter sa loi de chute comme totalement sans conséquence également. Si nous soutenons que des déclarations telles que celles d'Aristote ne comptent pas comme des principes scientifiques à moins qu'elles ne soient systématiquement appliquées pour expliquer divers phénomènes naturels, nous devrions alors conclure qu'il n'y avait pas du tout de science aristotélicienne de la mécanique. Ceci, bien sûr, serait une concession désastreuse à faire pour les défenseurs de la grandeur de Galilée, car une grande partie de la prétention de Galilée à la gloire est basée sur le contraste de son point de vue avec la science dite "aristotélicienne".

Alors faites votre choix. Voici les trois options :

Option 1. Galileo comprenait très mal l'inertie.

Option 2. La compréhension de l'inertie de Galilée était assez bonne, mais celle d'Aristote l'était aussi.

Option 3. La compréhension de l'inertie de Galilée était plutôt bonne, mais pas celle d'Aristote, car les déclarations d'Aristote, même si elles disent à peu près ce que dit Galilée, devraient être disqualifiées parce qu'elles relèvent de la philosophie plutôt que de la science.

Je préconise bien sûr la première solution : jeter Galileo sous le bus. Lui et Aristote étaient tous les deux stupides. Problème résolu.

Si vous voulez préserver la réputation de Galileo, vous êtes dans une position plus délicate. Allez-vous admettre qu'Aristote a compris l'inertie ? Mais alors quelle a été la contribution de Galilée, et comment pourrait-elle être révolutionnaire, si ce genre de choses était déjà bien compris deux mille ans auparavant ? Ou voulez-vous dire : non, Aristote n'a pas vraiment compris cela, parce que son texte n'était de toute façon pas censé être scientifique. Eh bien, alors quelle est la valeur du fait que Galilée passe des centaines de pages de ses œuvres les plus importantes à argumenter contre Aristote ?

Tu me dis comment tu vas résoudre ces énigmes. Essayer de maintenir la prétendue grandeur de Galilée, cela ne tient tout simplement pas. Vous devez vous plier en quatre avec ces rationalisations incohérentes.

Qu'en est-il du caractère *rectiligne* de l'inertie ? La chose continue *tout droit*. C'est dans Galilée ? Le passage suivant peut sembler le suggérer. Citation : « Un projectile, rapidement mis en rotation par quelqu'un qui le lance [comme une pierre dans une fronde], après avoir été séparé de lui, conserve une impulsion pour continuer son mouvement le long de la ligne droite touchant le cercle décrit par le mouvement du projectile à la point de séparation. Le projectile continuerait à se déplacer le long de cette ligne s'il n'était pas incliné vers le bas par son propre poids. L'élan impressionné, dis-je, est sans aucun doute en ligne droite.

C'est Galileo, et c'est une inertie rectiligne droite, non ? Fait et dépoussiéré. Non, pas ainsi. Ce n'est pas de l'inertie, c'est de l'impulsion. C'est ainsi que Galilée l'appelle. Le projectile a une « impulsion » pour aller tout droit. Mais qu'est ce que ça veut dire? Qu'est-ce que « l'impulsion » ? Est-ce la même chose que l'inertie? L'« élan » va-t-il s'épuiser, par exemple ? Le mouvement provoqué par « l'élan » est-il perpétuel et uniforme ? Galilée ne le dit pas, et très probablement il ne le croyait pas.

Dans de nombreuses autres sources à l'époque, « la perte d'impulsion par les projectiles était comparée à la diminution du son dans une cloche après avoir été frappée, ou à la chaleur dans une bouilloire après avoir été retirée du feu », comme le fait remarquer Drake. Cette conception est pour le moins parfaitement compatible avec ce qu'écrit Galilée. En fait, Galilée n'affirme nulle part la conservation éternelle du mouvement rectiligne. Au contraire, il la rejette explicitement : « Le mouvement rectiligne ne peut pas être naturellement perpétuel. C'est une citation exacte de son œuvre majeure. "Il est impossible que quoi que ce soit ait par nature le principe de se déplacer en ligne droite." Encore une fois, une citation littérale tout droit sortie de l'œuvre principale de Galilée. Il est alors facile de comprendre pourquoi les défenseurs de Galilée sont si désireux d'insister pour caractériser « le noyau essentiel du concept inertiel » d'une manière qui n'implique pas son caractère rectiligne, puisque Galilée a clairement et explicitement *rejeté* l'inertie rectiligne.

S'il y a une inertie dans Galileo, c'est une inertie horizontale plutôt que rectiligne. Voici quelques citations de Galilée.

« A certains mouvements [les corps] sont indifférents, comme les corps lourds au mouvement horizontal, auquel ils n'ont ni inclination ni répugnance. Et donc, tous les obstacles extérieurs étant supprimés, un corps lourd sur une surface sphérique concentrique à la terre sera indifférent au repos ou au mouvement vers n'importe quelle partie de l'horizon. Et il restera dans l'état où il a été placé une fois, c'est-à-dire que s'il est placé dans un état de repos, il le conservera et s'il est mis en mouvement vers l'ouest, par exemple, il se maintiendra dans ce mouvement. Ainsi un navire, par exemple, ayant reçu une fois une impulsion par la mer tranquille, se déplacerait continuellement autour de notre globe sans jamais s'arrêter.

"Le mouvement dans une ligne horizontale qui n'est inclinée ni vers le haut ni vers le bas est un mouvement circulaire autour du centre une fois acquis, il continuera perpétuellement avec une vitesse uniforme."

Encore une fois, comme pour la fronde et le projectile, on peut débattre s'il s'agit d'inertie en soi. Dans la mécanique newtonienne aussi, une rondelle de hockey sur une terre de glace sphérique glisserait pour toujours dans un grand cercle, même s'il ne s'agit pas d'un mouvement inertiel. Mais cet accord avec la mécanique newtonienne ne tient que si l'objet est empêché de descendre, comme le palet l'est par la glace, ou le navire par l'eau. Galilée semble avoir cru que l'inertie horizontale s'appliquait également aux objets voyageant librement dans l'air, ce qui n'est bien sûr pas compatible avec la mécanique newtonienne. Par exemple, Galilée dit :

"Je pense qu'il est très probable qu'une pierre tombée du haut de la tour se déplace, avec un mouvement composé du mouvement circulaire général et de son propre mouvement rectiligne."

Encore une fois, il n'est pas tout à fait clair que cela soit censé représenter l'inertie du tout. Il est concevable que, dans la conception de Galilée, le mouvement circulaire lui-même ne soit pas un mouvement par défaut sans force, mais plutôt un mouvement causé ou contaminé par des forces de type gravité. Qui sait? Galilée n'est tout simplement pas clair sur ce genre de choses. Newton et Descartes, en bons mathématiciens qu'ils sont, énoncent de manière concise et explicite l'hypothèse fondamentale exacte de leur théorie de la mécanique. Leurs lois d'inertie sont limpides et spécifiquement annoncées comme des principes de base sur lesquels le reste de la théorie est construit. Galilée ne s'approche jamais de rien de ce genre. Il utilise le format de dialogue décontracté de ses livres pour se cacher derrière des ambiguïtés. Un instant, il semble dire une chose, puis peu après autre chose, comme un opportuniste qui n'a pas de théorie élaborée systématiquement mais adopte plutôt les hypothèses les plus propices à ses objectifs dans une situation donnée.

Revenons au mouvement parabolique. Certains ont essayé de faire valoir que « si Galilée n'a jamais énoncé la loi [de l'inertie] sous sa forme générale, cela était implicite dans sa dérivation de la trajectoire parabolique d'un projectile ». C'est une citation de Stillman Drake. Cela aurait été un très bon argument si Galilée avait traité correctement les trajectoires paraboliques. Mais il ne l'a pas fait, alors la preuve va dans l'autre sens : le traitement raté du mouvement parabolique par Galilée est en fait une preuve supplémentaire qu'il ne comprenait pas l'inertie.

Sa restriction de l'inertie au mouvement horizontal seulement est claire dans son traitement des projectiles. Il parle sans équivoque de « la ligne horizontale que le projectile continuerait à suivre avec un mouvement uniforme si son poids ne le pliait vers le bas ». Mais il ne fait *pas* la même affirmation pour les projectiles tirés dans des directions non horizontales. Au contraire, il a soigneusement évité de s'engager sur ce point parce qu'il avait peur que ce ne soit pas vrai, comme nous l'avons dit.

Ne faisant confiance qu'au cas horizontal, Galilée a tenté d'analyser d'autres trajectoires à partir de ce cas. A cette fin, il supposait, sans justification, qu'une parabole tracée par un objet roulant sur une table serait aussi la parabole d'un objet remonté dans la même direction. Autrement dit, « il prend la réciproque de sa proposition sans la prouver ni l'expliquer ». Ce jugement est en fait une citation de Descartes, un lecteur mathématiquement compétent qui a immédiatement repéré ce défaut flagrant dans le livre de Galilée.

Voici un autre point intéressant soulevé par Descartes : Galilée "semble avoir écrit [cette théorie] uniquement pour expliquer la force des coups de canon tirés à différentes altitudes". C'est-à-dire que Galilée n'a fait aucun usage théorique de sa théorie du mouvement des projectiles. Par exemple, il ne fait aucun lien avec le mouvement des planètes, la lune, les comètes rien de tel. C'est une énorme opportunité manquée.

Au lieu de cela, Galilée a prétendu à tort que sa théorie serait pratiquement utile pour les personnes qui tiraient des canons. C'est assez naïf, comme l'a souligné Descartes. Voici une citation à ce sujet de l'historien A. Rupert Hall : « Dans de nombreux passages, Galilée remarque que la théorie des projectiles est d'une grande importance pour les artilleurs. Il faisait peu ou pas de distinction entre sa théorie et la balistique utile qu'il croyait, bien que sans expérience, qu'il avait découvert des méthodes suffisamment précises dans les limites des armes militaires pour être directement applicables dans le maniement de l'artillerie.

Cette croyance, cependant, était complètement fausse. Un contemporain a mis la question à l'épreuve expérimentale et a rapporté ce qui suit : « J'ai été étonné qu'une théorie aussi bien fondée réponde si mal dans la pratique. Si l'autorité de Galilée, à laquelle je dois être partial, ne me soutenait pas, je ne manquerai pas d'avoir quelques doutes sur le mouvement des projectiles, et s'il est parabolique ou non. C'est un disciple de Galilée qui écrit peu de temps après la publication de son travail.

Galilée pensait bêtement que sa théorie fonctionnerait sans la tester. Cela ressort par exemple des tableaux détaillés qu'il a imprimés en annexe de son grand livre : les tableaux de portée balistique basés sur sa théorie. Ces longues tables n'ont aucun sens si ce n'est comme guide pratique pour tirer des canons. Il est donc clair que Galilée pensait que sa théorie était pratiquement viable, ce qui n'est absolument pas le cas.

Voici une question plus théorique liée à l'inertie : la relativité du mouvement.

En enseignant l'astronomie de base à Padoue, Galilée expliqua à ses étudiants que Copernic se trompait sans aucun doute sur le mouvement de la Terre. La terre ne bouge pas, expliqua Galilée. Car, si la terre bougeait, un rocher tombé d'une tour heurterait le sol non pas à son pied mais à une certaine distance, puisque la terre se serait déplacée pendant la chute. À l'appui de cette affirmation, « Galileo a observé qu'une pierre lâchée du haut d'un mât d'un navire en mouvement heurte le pont à l'arrière. » Cela avait en effet été rapporté comme un fait expérimental par les personnes qui l'ont effectivement réalisé.

Bien sûr, c'est complètement à l'envers et à l'opposé des vues ultérieures de Galilée pour lesquelles il est célèbre. Certes, ces conférences ne disent pas nécessairement quoi que ce soit sur les croyances personnelles de Galilée. Selon toute vraisemblance, il a simplement enseigné la ligne du parti parce que c'était le moyen le plus simple de payer les factures. Mais au moins, l'épisode montre que le récit simpliste selon lequel «la méthode expérimentale» a forcé la transition de la physique ancienne à la physique moderne est certainement faux. Au contraire, les preuves expérimentales faisaient partie des arguments standard en faveur du point de vue conservateur bien avant que Galilée n'entre dans le jeu.

Dans ses œuvres ultérieures, Galilée affirme bien sûr le contraire de ce qu'il a dit dans ces conférences : la roche tombera de la même manière par rapport au navire, que le navire soit immobile ou voyage à une vitesse constante. Il donne une description très vivante et élaborée de ce principe. Je vais le citer en entier, c'est une longue citation mais c'est assez amusant :

« Enfermez-vous avec un ami dans la cabine principale sous les ponts d'un grand navire et ayez avec vous des mouches, des papillons et d'autres petits animaux volants. Avoir un grand bol d'eau avec du poisson dedans, accrocher une bouteille qui se vide goutte à goutte dans un large récipient en dessous. Avec le navire à l'arrêt, observez attentivement comment les petits animaux volent à la même vitesse de tous les côtés de la cabine. Les poissons nagent indifféremment dans toutes les directions les gouttes tombent dans le récipient en dessous et, en lançant quelque chose à votre ami, vous n'avez pas besoin de le lancer plus fortement dans une direction que dans une autre, les distances étant égales en sautant avec vos pieds ensemble, vous passez des espaces égaux dans tous les sens. Lorsque vous aurez soigneusement observé toutes ces choses (bien que sans doute lorsque le navire est à l'arrêt, tout doit se passer de cette manière), faites avancer le navire à la vitesse que vous voulez, tant que le mouvement est uniforme et ne fluctue pas dans un sens ou dans l'autre. Vous ne découvrirez pas le moindre changement dans tous les effets nommés, et vous ne pourrez pas non plus dire à partir de l'un d'eux si le navire bougeait ou était immobile. En sautant, vous passerez au sol les mêmes espaces qu'auparavant, et vous ne ferez pas non plus de plus grands sauts vers la poupe que vers la proue même si le navire se déplace assez rapidement, malgré le fait que pendant le temps que vous êtes dans les airs le sol sous vous ira dans une direction opposée à votre saut. En lançant quelque chose à votre compagnon, vous n'aurez plus besoin de force pour le lui apporter qu'il soit dans le sens de la proue ou de la poupe, avec vous-même situé en face. Les gouttelettes tomberont comme auparavant dans le navire en dessous sans tomber vers la poupe, bien que pendant que les gouttes soient dans l'air, le navire parcourt de nombreuses travées. Les poissons dans leur eau nageront vers l'avant de leur bol sans plus d'effort que vers l'arrière, et iront avec la même facilité aux appâts placés n'importe où sur les bords du bol. Enfin les papillons et les mouches continueront leur vol indifféremment de tous côtés, et il n'arrivera jamais qu'ils soient concentrés vers la poupe, comme fatigués de suivre la route du navire, dont ils auront été séparés pendant de longs intervalles en se gardant en l'air. Et si l'on fait de la fumée en brûlant de l'encens, on la verra monter sous la forme d'un petit nuage, restant immobile et ne se déplaçant pas plus d'un côté que de l'autre.

Ok, c'est donc ce fameux passage. La prose de Galilée est aussi agrémentée de parures que ce petit cabinet de curiosités d'un laboratoire qu'il imagine. Mais est-ce un bon argument ? Dans la mesure où il est, le mérite est peut-être dû à Copernic lui-même, qui avait déjà fait à peu près le même point cent ans auparavant. Voici ses mots :

« Lorsqu'un navire flotte sur une mer tranquille, toutes les choses extérieures semblent aux voyageurs se mouvoir dans un mouvement qui est une image qui leur est propre, et ils pensent eux-mêmes et toutes les choses avec eux sont au repos. Il peut donc facilement arriver dans le cas du mouvement de la Terre que le monde entier soit censé se déplacer en cercle. Alors que dirions-nous des nuages ​​et des autres choses flottant dans l'air ou tombant ou s'élevant, sauf que non seulement la Terre est déplacée de cette manière, mais également aucune petite partie de l'air [est déplacée avec elle] ? »

L'argument de la relativité de Galilée, comme tant d'autres choses qu'il dit, est donc une vieille nouvelle. L'apport principal de sa version est l'ornementation littéraire. Ajouter quelques papillons et ainsi de suite, tout en ne disant rien de nouveau sur le fond.

On pourrait peut-être soutenir que Galilée va au-delà du passage de Copernic en affirmant plus définitivement qu'aucune expérience mécanique d'aucune sorte ne pourrait prouver que le navire est en mouvement. Aujourd'hui, le principe de relativité dit « galiléen » dit que les phénomènes dans la cabine ne peuvent pas être utilisés pour faire la distinction entre le navire étant au repos ou se déplaçant à vitesse constante en ligne droite. Mais Galilée a clairement un autre scénario en tête : il voit le navire comme voyageant le long d'un grand cercle autour du globe. C'est le genre de mouvement qui, selon lui, ne peut être distingué du repos, conformément à son idée fausse de l'inertie horizontale. Ce principe de relativité – celui en fait « galiléen » – est bien sûr faux. En fait, c'est encore pire que ça. Le but de Galilée avec ce passage sur le navire est d'affirmer, à tort, que la rotation de la Terre ne peut pas être détectée par des expériences physiques, ce qu'elle peut en fait. Le pendule de Foucault est un appareil qui peut le détecter.

Ainsi, l'attribution du principe de relativité du mouvement à Galilée dans les manuels modernes est doublement erronée. Tout d'abord, la relativité du mouvement et l'idée d'un référentiel inertiel avaient été notées bien avant et ont été invoquées par Copernic à peu près aux mêmes fins que Galilée. De plus, le principe de Galilée est faux en soi (parce qu'il s'agit de mouvement dans un grand cercle, pas en ligne droite), et de plus son but en l'introduisant est d'en tirer une autre fausse conclusion (à savoir que le mouvement de la terre est indétectable). Donc des erreurs à chaque tournant comme d'habitude avec Galileo. Et il y a beaucoup plus d'où cela vient.


Comment se fait-il que les projectiles aient une trajectoire parabolique ?

Ah, mais pour une orbite géosynchrone, g ne change pas du tout, pourtant on obtient une solution circulaire au mouvement d'un satellite géosynchrone !

Je dirais que c'est le fait la variation de la DIRECTION de g, et non sa magnitude qui entraîne des solutions elliptiques et circulaires. En d'autres termes, nous n'obtenons pas de solutions circulaires/elliptiques car nous supposons que la direction de g reste constante.

Si nous supposons que la direction de g peut varier (comme nous le faisons pour le mouvement circulaire), nous pouvons arriver auxdites solutions elliptiques/circulaires.

Ah, mais pour une orbite géosynchrone, g ne change pas du tout, pourtant on obtient une solution circulaire au mouvement d'un satellite géosynchrone !

Je dirais que c'est le fait la variation de la DIRECTION de g, et non sa magnitude qui entraîne des solutions elliptiques et circulaires. En d'autres termes, nous n'obtenons pas de solutions circulaires/elliptiques car nous supposons que la direction de g reste constante.

Si nous supposons que la direction de g peut varier (comme nous le faisons pour le mouvement circulaire), nous pouvons arriver auxdites solutions elliptiques/circulaires.

Vous pouvez même ignorer tous les points mentionnés ci-dessus et résoudre le paradoxe.

Si vous faisiez très, très attention à mesurer la trajectoire (apparemment parabolique) d'un objet balistique, vous découvririez qu'il s'agit en fait d'un segment d'ellipse avec son foyer à 4000 milles de distance - au centre de la Terre.

Si la Terre était magiquement remplacée par un trou noir de 1 masse terrestre, l'objet suivrait une orbite elliptique (enfin, si vous ignorez le gradient).


Physique du baseball : vraies courbes et balles mortes

SAN DIEGO, CA - 11 juillet : Giancarlo Stanton des Marlins de Miami fait concurrence au cours de la T-Mobile Home . [+] Run Derby au PETCO Park le 11 juillet 2016 à San Diego, Californie. (Photo de Harry How/Getty Images)

Je ne suis pas un grand fan de baseball, mais un collègue du bureau des médias du National Institute of Standards and Technology m'a envoyé quelques histoires de baseball liées à la physique, à relier au All-Star Game de ce soir. Il s'avère que l'ancien directeur du NIST, Lyman Briggs, a enquêté sur deux grandes questions sur le baseball au milieu du siècle dernier : si une pénurie de caoutchouc pendant la Seconde Guerre mondiale a rendu les balles de baseball plus difficiles à frapper, et si les balles courbes se courbent réellement. Ce dernier reçoit également un court traitement vidéo, nous allons donc nous en occuper en premier :

Courbe ou pas ?

Comme indiqué dans la vidéo, la question de savoir si une balle courbe change vraiment de direction ou semble seulement avoir été vivement débattue pendant longtemps, jusqu'à ce que Briggs la règle à la fin des années 50. C'est l'un de ces problèmes où l'approche réductrice de la physique finit par créer un problème mineur, car si vous faites la chose habituelle et commencez par la version la plus simple du problème imaginable, vous obtenez la mauvaise réponse. Pour expliquer l'action d'une balle courbe, il faut inclure deux propriétés qu'il serait plus facile de laisser de côté : la résistance à l'air et la rotation de la balle.

L'effet principal de la résistance de l'air au baseball est de ralentir le vol d'une balle, comme je l'ai démontré il y a quelque temps avec des balles en plastique avec et sans trous. Cela change la trajectoire de la balle de la forme parabolique que vous attendez dans le cas idéal sans résistance à l'air à quelque chose de plus asymétrique, montant plus ou moins comme la parabole, mais tombant ensuite beaucoup plus rapidement. Cela peut conduire à l'argument de "l'illusion d'optique" concernant les balles courbes : la chute est plus rapide que ce à quoi vous vous attendriez pour le cas idéal, donc elle "ressemble" à une courbe, mais ce n'est vraiment pas le cas. Sauf que personne n'étant familiarisé avec les vraies balles de baseball ne s'attend à une trajectoire parabolique purement idéale, à moins qu'ils ne soient dans une sorte de ligue sans air bizarre jouant à des jeux dans des chambres à vide géantes. Ou ils jouent pour les Rocheuses.

Afin d'obtenir un véritable mouvement de courbure, la balle doit non seulement subir une traînée de l'air, mais elle doit également tourner. Pour une balle qui tourne, un peu de physique connu sous le nom d'effet Magnus entre en jeu.

La plupart des explications de l'effet Magnus invoquent la turbulence, qui est probablement la plus facile à comprendre en termes d'énergie. Un objet traversant l'air subit une traînée car il doit repousser l'air devant lui, et à moins que vous ne soyez exceptionnellement attentif à la forme, cela entraîne un mouvement turbulent de l'air dans le sillage de l'objet. Cette turbulence aspire de l'énergie, qui doit venir de quelque part, et par conséquent, l'objet en mouvement doit perdre un peu d'énergie.

Pour une balle sans rotation, le flux d'air est symétrique des deux côtés de la balle, et l'effet net est juste de ralentir le mouvement. Une balle qui tourne rapidement, en revanche, perturbe le flux de différentes manières sur les côtés opposés :

Croquis du flux d'air autour d'une balle de baseball en rotation. De Wikimédia : . [+] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sketch_of_Magnus_effect_with_streamlines_and_turbulent_wake.svg

Vous ne vous tromperiez pas trop si vous y pensiez comme ayant une vitesse effective plus élevée du côté de la rotation face au vent, et une vitesse effective inférieure du côté de la rotation avec le vent. La différence produit une région turbulente dans le sillage de la balle qui n'est pas symétrique, et qui conduit à une force qui pousse la balle d'un côté. Compte tenu d'une rotation suffisamment rapide et d'un temps de déplacement suffisamment long, cela peut entraîner un changement important de trajectoire, comme l'ont brillamment démontré certains Australiens fous avec un ballon de basket :

(Il y a aussi une belle explication vidéo de Veritasium)

L'asymétrie dans la région turbulente est ce que Lyman Briggs a vu dans des expériences en soufflerie (il y a une photo de cela dans la vidéo du NIST ci-dessus). À partir de ses mesures, il a pu estimer qu'une balle lancée avec suffisamment d'effet à une vitesse raisonnable pouvait se déplacer latéralement d'environ la largeur du marbre.

Maintenant, l'effet Magnus nommé d'après les travaux effectués dans les années 1850, alors comment cela pourrait-il être controversé ? Eh bien, l'effet est réel, mais la quantité de rotation nécessaire est vraiment élevée - la vidéo du NIST utilise une valeur de 1800 tr/min, ce qui signifie qu'un point à la surface de la balle se déplacerait à environ 31 mph par rapport au centre , et le terrain lui-même doit se déplacer à 68 mph (environ 14 m/s et 30 m/s en unités non américaines). Ni l'un ni l'autre n'est facile à faire, c'est pourquoi les bons lanceurs de balles courbes sont payés beaucoup, beaucoup d'argent. Il est également assez difficile de distinguer le mouvement de courbure de l'effet de relâcher la balle à différents points lors de l'observation d'une action en direct, c'est pourquoi vous avez besoin d'expériences soigneusement contrôlées comme celles réalisées par Briggs pour établir que les balles courbes se courbent en fait. de manière mesurable.

Caoutchouc vs Liège

Todd Frazier de la Ligue américaine, des White Sox de Chicago, frappe pendant le MLB All-Star Home Run . [+] Derby, lundi 11 juillet 2016, à San Diego. (Photo AP/Lenny Ignelzi)

L'autre enquête sur le baseball par Briggs mentionnée sur la page du NIST sur le baseball portait sur l'effet de l'élimination du revêtement en caoutchouc du centre en liège des balles de baseball fabriquées pendant la Seconde Guerre mondiale, lorsque le caoutchouc était nécessaire à des fins militaires. Cela peut sembler être un effet mineur, mais Briggs a découvert qu'"une balle volante frappée durement avec un centre de 1943 devrait tomber environ 30 pieds plus courte que la balle d'avant-guerre frappée dans les mêmes conditions."

Que se passe t-il ici? Eh bien, comme je l'ai soutenu dans un ancien article de blog, la façon la plus simple de penser à la physique de frapper une balle de baseball est d'invoquer le principe de relativité. C'est-à-dire que bien qu'il soit un peu délicat de résoudre le problème où à la fois la balle et la batte se déplacent, il est simple d'imaginer ce qui se passe lorsque la batte est immobile : la balle entre et, dans un cas parfaitement idéal, rebondit près de la même vitesse qu'il est venu avec. Dans le cadre où la batte ne bouge pas, la vitesse de la balle entrante est la vitesse de la balle plus la vitesse de la batte, et lorsque nous revenons au cadre du stade, cela signifie que la balle quittant la batte serait la vitesse du lancer plus deux fois la vitesse de la batte. Ce qui vous permet de voir comment frapper une balle peut l'envoyer plus loin que vous ne pourriez la lancer.

Bien sûr, ce résultat n'est pas tout à fait réaliste, car c'est un cas idéal. Pour une balle rapide de 90 mph et une vitesse de batte de 70 mph, cela prédit une vitesse de sortie incroyable de 230 mph (103 m/s). Même en utilisant les masses correctes pour la balle et la batte, vous obtenez une vitesse de sortie de 190 mph (il existe une calculatrice pratique chez Hyperphysics pour le faire), ce qui est toujours plus élevé que ce qui est réaliste. ESPN suit la vitesse dès le départ pour les home runs, et les valeurs les plus élevées de cette liste ne sont que d'environ 120 mph.

Donc quel est le problème? Eh bien, le calcul facile à faire suppose que la collision entre la batte et la balle ne perd aucune de l'énergie du mouvement au profit d'autres formes - dans le jargon de la physique, que la collision est parfaitement élastique. C'est une grande simplification, mais pas si bonne comme représentation de la réalité, car une grande partie de l'énergie initiale d'un vrai coup de baseball va à d'autres endroits : il y a de l'énergie emportée par les ondes sonores provenant du craquement de la batte, les ondes de choc qui font piquer vos mains après un bon coup et surtout de l'énergie qui va chauffer et réarranger légèrement les molécules à l'intérieur de la balle et de la batte. Cette énergie perdue réduit l'énergie de mouvement après le coup, ce qui réduit la vitesse de sortie de la balle.

Maintenant, les détails exacts de la quantité d'énergie perdue dépendront de la composition de la balle et de la batte. Et comme vous pouvez le deviner d'après le nom « élastique », les matériaux qui sont plus « rebondissants » vous rapprocheront un peu plus de l'idéal que les matériaux avec moins de ressort. Et c'est pourquoi le noyau recouvert de caoutchouc d'une balle de baseball d'avant-guerre la faisait voler plus loin que les balles de guerre sans caoutchouc - l'élasticité du caoutchouc conservait plus d'énergie dans le mouvement de la balle. C'est aussi pourquoi certaines personnes s'inquiètent des battes en aluminium utilisées dans le baseball au lycée et à l'université - le métal est plus élastique que le bois utilisé dans les battes MLB, ce qui fait que la balle sort de la batte à des vitesses qui pourraient être dangereuses pour les joueurs dans le terrain – et pourquoi les joueurs cherchant à obtenir un avantage injuste vont soigner leurs battes avec des noyaux en liège ou en caoutchouc (dont la détection est un autre domaine cité sur cette page de baseball du NIST). C'est aussi pourquoi tout changement apparent des taux de coups de circuit inspirera des théories du complot des fans sur la façon dont la ligue falsifie le ballon d'une manière ou d'une autre pour changer le jeu. Tout ce que vous pouvez faire pour rendre la collision entre la balle et la batte plus élastique fera aller la balle plus loin, ce qui ouvre un large éventail de possibilités.

Il y a donc quelques domaines où la physique et le baseball se heurtent (heh) dans le travail de l'ancien directeur du NIST Lyman Briggs. L'autre élément commun entre ceux-ci est la nécessité de lever les approximations simplificatrices que nous faisons souvent en pensant à la physique fondamentale. À moins que vous ne teniez compte de l'effet Magnus et de l'inélasticité des matériaux réels, le jeu semblera défier la science bien faite, cependant, tout se tient et montre la riche physique impliquée dans des situations même relativement banales.


Contenu

Le premier travail connu sur les sections coniques était par Menaechmus au 4ème siècle avant JC. Il a découvert un moyen de résoudre le problème du doublement du cube en utilisant des paraboles. (Cependant, la solution ne répond pas aux exigences de la construction compas et règle.) La zone délimitée par une parabole et un segment de ligne, le soi-disant "segment de parabole", a été calculée par Archimède par la méthode d'épuisement dans le IIIe siècle av. La quadrature de la parabole. Le nom "parabole" est dû à Apollonius, qui a découvert de nombreuses propriétés des sections coniques. Cela signifie "application", se référant au concept "d'application de zones", qui a un lien avec cette courbe, comme Apollonius l'avait prouvé. [1] La propriété foyer-directrice de la parabole et d'autres sections coniques est due à Pappus.

Galilée a montré que la trajectoire d'un projectile suit une parabole, conséquence d'une accélération uniforme due à la gravité.

L'idée qu'un réflecteur parabolique puisse produire une image était déjà bien connue avant l'invention du télescope à réflexion. [2] Des conceptions ont été proposées au début du milieu du XVIIe siècle par de nombreux mathématiciens, dont René Descartes, Marin Mersenne, [3] et James Gregory. [4] Quand Isaac Newton a construit le premier télescope à réflexion en 1668, il a sauté l'utilisation d'un miroir parabolique en raison de la difficulté de fabrication, optant pour un miroir sphérique. Les miroirs paraboliques sont utilisés dans la plupart des télescopes à réflexion modernes et dans les antennes paraboliques et les récepteurs radar. [5]

Une parabole peut être définie géométriquement comme un ensemble de points (lieu des points) dans le plan euclidien :

Axe de symétrie parallèle au oui axe Modifier

Cette parabole est en forme de U (ouverture vers le haut).

La corde horizontale à travers le foyer (voir l'image dans la section d'ouverture) est appelée la latus rectum la moitié est le demi-latus rectum. Le latus rectum est parallèle à la directrice. Le demi-latus rectum est désigné par la lettre p . De l'image on obtient

Le latus rectum est défini de la même manière pour les deux autres coniques - l'ellipse et l'hyperbole. Le latus rectum est la ligne tracée à travers un foyer d'une section conique parallèle à la directrice et terminée dans les deux sens par la courbe. Dans tous les cas, p est le rayon du cercle osculateur au sommet. Pour une parabole, le demi-latus rectum, p , est la distance du foyer à la directrice. En utilisant le paramètre p , l'équation de la parabole peut être réécrite comme

  1. Dans le cas de f < 0 la parabole a une ouverture vers le bas.
  2. La présomption que le l'axe est parallèle à l'axe y permet de considérer une parabole comme le graphe d'un polynôme de degré 2, et inversement : le graphe d'un polynôme arbitraire de degré 2 est une parabole (voir section suivante).
  3. Si on échange x et y , on obtient des équations de la forme y 2 = 2 p x =2px> . Ces paraboles s'ouvrent à gauche (si p < 0 ) ou à droite (si p > 0 ).

Cas général Modifier

(le côté gauche de l'équation utilise la forme normale de Hesse d'une ligne pour calculer la distance | P l | ).

L'équation implicite d'une parabole est définie par un polynôme irréductible de degré deux :

La section précédente montre que toute parabole avec l'origine comme sommet et le oui l'axe comme axe de symétrie peut être considéré comme le graphe d'une fonction

La fonction générale du degré 2 est

qui est l'équation d'une parabole avec

Deux objets dans le plan euclidien sont similaire si l'un peut être transformé en l'autre par un similarité, c'est-à-dire une composition arbitraire de mouvements rigides (translations et rotations) et d'échelles uniformes.

Une approche synthétique, utilisant des triangles similaires, peut également être utilisée pour établir ce résultat. [7]

Le résultat général est que deux sections coniques (nécessairement du même type) sont similaires si et seulement si elles ont la même excentricité. [6] Par conséquent, seuls les cercles (tous ayant une excentricité 0) partagent cette propriété avec les paraboles (tous ayant une excentricité 1), contrairement aux ellipses et hyperboles générales.

Le crayon des sections coniques avec le X axe comme axe de symétrie, un sommet à l'origine (0, 0) et le même demi-latus rectum p peuvent être représentés par l'équation

Si p > 0 , la parabole d'équation y 2 = 2 p x =2px> (ouverture vers la droite) a la représentation polaire

Si l'on déplace l'origine au foyer, c'est-à-dire F = ( 0 , 0 ) , on obtient l'équation

Remarque 1 : L'inversion de cette forme polaire montre qu'une parabole est l'inverse d'une cardioïde.

Remarque 2 : La deuxième forme polaire est un cas particulier d'un crayon de coniques de foyer F = ( 0 , 0 ) (voir photo) :

Diagramme, description et définitions Modifier

Le schéma représente un cône d'axe AV . Le point A est son sommet. Une section transversale inclinée du cône, représentée en rose, est inclinée par rapport à l'axe du même angle que le côté du cône. Selon la définition d'une parabole comme une section conique, la frontière de cette section rose EPD est une parabole.

Une section transversale perpendiculaire à l'axe du cône passe par le sommet P de la parabole. Cette section transversale est circulaire, mais apparaît elliptique lorsqu'elle est vue obliquement, comme le montre le diagramme. Son centre est V et PK est un diamètre. Nous appellerons son rayon r .

Une autre perpendiculaire à l'axe, la section transversale circulaire du cône est plus éloignée du sommet A que celle qui vient d'être décrite. Il a une corde DE , qui rejoint les points où la parabole coupe le cercle. Une autre corde BC est la médiatrice de DE et est par conséquent un diamètre du cercle. Ces deux cordes et l'axe de symétrie de la parabole PM se coupent tous au point M.

Tous les points étiquetés, sauf D et E, sont coplanaires. Ils sont dans le plan de symétrie de l'ensemble de la figure. Cela inclut le point F, qui n'est pas mentionné ci-dessus. Elle est définie et discutée ci-dessous, au § Position du foyer.

Appelons la longueur de DM et de EM x , et la longueur de PM y .

Dérivation de l'équation quadratique Modifier

Les longueurs de BM et CM sont :

En utilisant le théorème des accords croisés sur les accords BC et DE , on obtient

Pour un cône et une parabole donnés, r et sont des constantes, mais x et y sont des variables qui dépendent de la hauteur arbitraire à laquelle la section horizontale BECD est réalisée. Cette dernière équation montre la relation entre ces variables. Elles peuvent être interprétées comme des coordonnées cartésiennes des points D et E, dans un système dans le plan rose avec P comme origine. Puisque x est au carré dans l'équation, le fait que D et E soient de part et d'autre de l'axe y n'a pas d'importance. Si la section transversale horizontale se déplace vers le haut ou vers le bas, vers ou loin du sommet du cône, D et E se déplacent le long de la parabole, en maintenant toujours la relation entre x et y indiquée dans l'équation. La courbe parabolique est donc le lieu des points où l'équation est satisfaite, ce qui en fait un graphe cartésien de la fonction quadratique dans l'équation.

Distance focale Modifier

Il est prouvé dans une section précédente que si une parabole a son sommet à l'origine, et si elle s'ouvre dans la direction y positive, alors son équation est oui = X 2 / 4F , où f est sa distance focale. [b] La comparaison avec la dernière équation ci-dessus montre que la distance focale de la parabole dans le cône est r péché θ .

Position du focus Modifier

Dans le schéma ci-dessus, le point V est le pied de la perpendiculaire du sommet de la parabole à l'axe du cône. Le point F est le pied de la perpendiculaire du point V au plan de la parabole. [c] Par symétrie, F est sur l'axe de symétrie de la parabole. L'angle VPF est complémentaire de , et l'angle PVF est complémentaire de l'angle VPF, donc l'angle PVF est . Puisque la longueur de PV est r , la distance de F au sommet de la parabole est r péché θ . Il est montré ci-dessus que cette distance est égale à la distance focale de la parabole, qui est la distance du sommet au foyer. Le foyer et le point F sont donc à égale distance du sommet, le long d'une même ligne, ce qui implique qu'il s'agit du même point. Par conséquent, le point F, défini ci-dessus, est le foyer de la parabole.

Cette discussion a commencé à partir de la définition d'une parabole en tant que section conique, mais elle a maintenant conduit à une description en tant que graphique d'une fonction quadratique. Cela montre que ces deux descriptions sont équivalentes. Ils définissent tous les deux des courbes d'exactement la même forme.

Preuve alternative avec des sphères Dandelin Modifier

Une preuve alternative peut être faite en utilisant des sphères de Dandelin. Il fonctionne sans calcul et utilise uniquement des considérations géométriques élémentaires (voir la dérivation ci-dessous).

L'intersection d'un cône vertical par un plan π , dont l'inclinaison par rapport à la verticale est la même qu'une génératrice (alias génératrice, une ligne contenant le sommet et un point sur la surface du cône) m 0 > du cône, est une parabole (courbe rouge sur le schéma).

La propriété réfléchissante stipule que si une parabole peut réfléchir la lumière, la lumière qui y pénètre parallèlement à l'axe de symétrie est réfléchie vers le foyer. Ceci est dérivé de l'optique géométrique, basée sur l'hypothèse que la lumière voyage en rayons.

Considérez la parabole oui = X 2 . Puisque toutes les paraboles sont similaires, ce cas simple représente tous les autres.

Construction et définitions Modifier

Le point E est un point arbitraire de la parabole. Le foyer est F, le sommet est A (l'origine) et la ligne FA est l'axe de symétrie. La droite EC est parallèle à l'axe de symétrie et coupe l'axe des x en D. Le point B est le milieu du segment de droite FC .

Déductions Modifier

Les distances EF et EC sont égales car E est sur la parabole, F est le foyer et C est sur la directrice. Par conséquent, puisque B est le milieu de FC , les triangles FEB et △CEB sont congrus (trois côtés), ce qui implique que les angles marqués sont congrus. (L'angle au-dessus de E est verticalement opposé à l'angle ∠BEC.) Cela signifie qu'un rayon de lumière qui entre dans la parabole et arrive à E en se déplaçant parallèlement à l'axe de symétrie sera réfléchi par la ligne BE afin qu'il se déplace le long de la ligne EF , comme indiqué en rouge dans le diagramme (en supposant que les lignes peuvent d'une manière ou d'une autre refléter la lumière). Puisque BE est la tangente à la parabole en E, la même réflexion se fera par un arc infinitésimal de la parabole en E. Par conséquent, la lumière qui entre dans la parabole et arrive à E en se déplaçant parallèlement à l'axe de symétrie de la parabole est réfléchie par la parabole vers son foyer.

Cette conclusion sur la lumière réfléchie s'applique à tous les points de la parabole, comme indiqué sur le côté gauche du diagramme. C'est la propriété réfléchissante.

Autres conséquences Modifier

Il existe d'autres théorèmes qui peuvent être déduits simplement de l'argument ci-dessus.

Propriété de bissection tangente Modifier

La preuve ci-dessus et le diagramme d'accompagnement montrent que la tangente BE coupe l'angle ∠FEC. En d'autres termes, la tangente à la parabole en tout point coupe l'angle entre les lignes joignant le point au foyer et perpendiculairement à la directrice.

Intersection d'une tangente et d'une perpendiculaire au foyer Modifier

Les triangles △FBE et △CBE étant congrus, FB est perpendiculaire à la tangente BE . Puisque B est sur l'axe des x, qui est la tangente à la parabole à son sommet, il s'ensuit que le point d'intersection entre toute tangente à une parabole et la perpendiculaire du foyer à cette tangente se trouve sur la ligne qui est tangente à la parabole à son sommet. Voir schéma animé [8] et courbe de la pédale.

Reflet de la lumière frappant le côté convexe Modifier

Si la lumière se déplace le long de la ligne CE , elle se déplace parallèlement à l'axe de symétrie et frappe le côté convexe de la parabole en E. Il ressort clairement du diagramme ci-dessus que cette lumière sera réfléchie directement à partir du foyer, le long d'une extension de le segment FE .

Preuves alternatives Modifier

Les preuves ci-dessus des propriétés de bissection réfléchissante et tangente utilisent une ligne de calcul. Ici, une preuve géométrique est présentée.

Dans ce diagramme, F est le foyer de la parabole, et T et U se trouvent sur sa directrice. P est un point arbitraire de la parabole. PT est perpendiculaire à la directrice, et la droite MP bissecte l'angle ∠FPT. Q est un autre point de la parabole, avec QU perpendiculaire à la directrice. On sait que FP = PT et FQ = QU . Clairement, QT > QU , donc QT > FQ . Tous les points de la bissectrice MP sont équidistants de F et T, mais Q est plus proche de F que de T. Cela signifie que Q est à gauche de MP , c'est-à-dire du même côté que le foyer. La même chose serait vraie si Q était situé n'importe où ailleurs sur la parabole (sauf au point P), donc toute la parabole, à l'exception du point P, est du côté foyer de MP . Par conséquent, MP est la tangente à la parabole en P. Puisqu'elle coupe l'angle ∠FPT, cela prouve la propriété de bissection de la tangente.

La logique du dernier paragraphe peut être appliquée pour modifier la preuve ci-dessus de la propriété réfléchissante. Cela prouve effectivement que la ligne BE est la tangente à la parabole en E si les angles sont égaux. La propriété réfléchissante suit comme indiqué précédemment.

La définition d'une parabole par son foyer et sa directrice peut être utilisée pour la dessiner à l'aide d'épingles et de cordes : [9]

Une parabole peut être considérée comme la partie affine d'une conique projective non dégénérée avec un point Y ∞ > sur la droite de l'infini g ∞ > , qui est la tangente à Y ∞ > . Les dégénérescences à 5, 4 et 3 points du théorème de Pascal sont des propriétés d'une conique traitant d'au moins une tangente. Si l'on considère cette tangente comme la droite à l'infini et son point de contact comme le point à l'infini de la oui axe, on obtient trois expressions pour une parabole.

Les propriétés suivantes d'une parabole ne concernent que les termes relier, couper, parallèle, qui sont des invariants de similitudes. Ainsi, il suffit de prouver une propriété pour le parabole unitaire avec l'équation y = x 2 > .

Propriété à 4 points Modifier

Toute parabole peut être décrite dans un système de coordonnées approprié par une équation y = a x 2 > .

Preuve: calcul simple pour la parabole unitaire y = x 2 > .

Application: La propriété à 4 points d'une parabole peut être utilisée pour la construction du point P 4 > , tandis que P 1 , P 2 , P 3 ,P_<2>,P_ <3>> et Q 2 > sont donnés.

Remarque: la propriété à 4 points d'une parabole est une version affine de la dégénérescence à 5 points du théorème de Pascal.

Propriété 3-points–1-tangente Modifier

Application: La propriété 3-points-1-tangente d'une parabole peut être utilisée pour la construction de la tangente au point P 0 > , tandis que P 1 , P 2 , P 0 ,P_<2>,P_<0>> sont donnés.

Remarque: La propriété 3-points-1-tangente d'une parabole est une version affine de la dégénérescence en 4 points du théorème de Pascal.

Propriété 2-points-2-tangentes Modifier

Preuve: calcul direct pour la parabole unitaire y = x 2 > .

Application: La propriété 2-points–2-tangentes peut être utilisée pour la construction de la tangente d'une parabole au point P 2 > , si P 1 , P 2 ,P_< 2>> et la tangente à P 1 > sont données.

Remarque 1 : La propriété 2-points-2-tangentes d'une parabole est une version affine de la dégénérescence en 3 points du théorème de Pascal.

Remarque 2 : La propriété 2-points-2-tangentes ne doit pas être confondue avec la propriété suivante d'une parabole, qui traite également de 2 points et 2 tangentes, mais est ne pas lié au théorème de Pascal.

Direction de l'axe Modifier

Preuve: peut être fait (comme les propriétés ci-dessus) pour la parabole unitaire y = x 2 > .

Application: Cette propriété peut être utilisée pour déterminer la direction de l'axe d'une parabole, si deux points et leurs tangentes sont donnés. Une autre méthode consiste à déterminer les points médians de deux cordes parallèles, voir la section sur les cordes parallèles.

Remarque: Cette propriété est une version affine du théorème de deux triangles de perspective d'une conique non dégénérée. [dix]

Parabole Modifier

Steiner a établi la procédure suivante pour la construction d'une conique non dégénérée (voir conique de Steiner) :

Cette procédure peut être utilisée pour une construction simple de points sur la parabole y = a x 2 > :

Preuve: calcul simple.

Remarque: La génération de Steiner est également disponible pour les ellipses et les hyperboles.

Double parabole Modifier

UNE double parabole consiste en l'ensemble des tangentes d'une parabole ordinaire.

La génération Steiner d'une conique peut être appliquée à la génération d'une double conique en changeant la signification des points et des lignes :

Afin de générer des éléments d'une double parabole, on commence par

le preuve est une conséquence de la Algorithme de Casteljau pour une courbe de Bézier de degré 2.

Dans la suite, l'angle de deux droites sera mesuré par la différence des pentes de la droite par rapport à la directrice de la parabole. C'est-à-dire, pour une parabole d'équation y = ax 2 + bx + c , +bx+c,> l'angle entre deux droites d'équations y = m 1 x + d 1 , y = m 2 x + d 2 x+d_<1>, y=m_<2>x+d_<2>> est mesuré par m 1 − m 2 . -m_<2>.>

Par analogie au théorème de l'angle inscrit pour les cercles, on a le théorème de l'angle inscrit pour les paraboles: [11] [12]

(Preuve : calcul simple : si les points sont sur une parabole, on peut traduire les coordonnées pour avoir l'équation y = ax 2 > , alors on a yi − yjxi − xj = xi + xj