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Selon les lois de Newton, les trajectoires du problème à deux corps sont des coniques : soit des ellipses, soit des paraboles ou des hyperboles. Bien sûr, les mouvements périodiques nécessitent des ellipses et dans le système solaire, ces courbes elliptiques sont une assez bonne approximation de la trajectoire de chaque planète.
Cependant, il est possible que la trajectoire d'une comète très rapide soit une hyperbole ou une parabole avec le Soleil au foyer ; dans ce cas, le mouvement ne serait pas périodique et la comète ne serait visible près du Soleil qu'une seule fois.
Ma question : y a-t-il déjà eu une observation d'une comète sur une trajectoire hyperbolique (ou parabolique) (avec le Soleil au foyer) ? Même question pour différents objets stellaires. Ce serait certainement très difficile à observer, puisque la comète ne serait visible qu'une seule fois à son périhélie et irait ensuite à l'infini sans retour.
Oui, et il n'est pas rare qu'une orbite ait une excentricité proche de un. Le site wikipedia, lié dans un commentaire ci-dessus, note C/1980 E1, qui est entré dans le système solaire interne avec une excentricité proche de un, mais a eu une rencontre rapprochée avec Jupiter et a été accéléré. Il a quitté le système solaire interne avec une excentricité de 1,05, et est donc sur une trajectoire hyperbolique, et échappera à la gravité du soleil
Les orbites hautement hyperboliques sont très improbables. Les comètes se sont formées dans le cadre du système solaire.
Ils ne sont pas vraiment plus difficiles à repérer que n'importe quelle autre comète. Une comète met plusieurs mois pour faire son passage dans le système solaire interne. Il y a beaucoup de temps pour qu'ils soient repérés, surtout si vous avez des sondes comme SOHO ou NEAT
Équation de Kepler hyperbolique
En mécanique orbitale, l'équation de Kepler relie diverses propriétés géométriques de l'orbite d'un corps soumis à une force centrale.
Il a été dérivé pour la première fois par Johannes Kepler en 1609 dans le chapitre 60 de son Astronomia nova, et dans le livre V de son Epitome of Copernican Astronomy (1621) Kepler a proposé une solution itérative à l'équation. L'équation a joué un rôle important dans l'histoire de la physique et les mathématiques, en particulier la mécanique céleste classique.
L'équation de Kepler hyperbolique est utilisée pour les trajectoires hyperboliques (e 1).
Lorsque e = 0, l'orbite est circulaire. L'augmentation de e fait que le cercle devient elliptique. Lorsque e = 1, il y a trois possibilités : une trajectoire parabolique, une trajectoire entrant ou sortant le long d'un rayon infini émanant du centre d'attraction, ou une trajectoire qui va et vient le long d'un segment de droite du centre d'attraction à un point à une certaine distance.
Une légère augmentation de e au-dessus de 1 entraîne une orbite hyperbolique avec un angle de rotation d'un peu moins de 180 degrés. Des augmentations supplémentaires réduisent l'angle de rotation, et lorsque e tend vers l'infini, l'orbite devient une ligne droite de longueur infinie.
Contenu
Selon les hypothèses standard, le corps voyageant le long d'une trajectoire hyperbolique atteindra à l'infini une vitesse orbitale appelée excès de vitesse hyperbolique () qui peut être calculé comme :
- est le paramètre gravitationnel standard,
- est le demi-grand axe (négatif) de l'hyperbole de l'orbite.
L'excès de vitesse hyperbolique est lié à l'énergie orbitale spécifique ou à l'énergie caractéristique par
est couramment utilisé dans la planification des missions interplanétaires.
(on parle de gravitationnel trajectoires ?)
Si la planète ou la comète revient, elle a une trajectoire elliptique.
S'il ne passe l'étoile qu'une seule fois et ne revient pas, il a une trajectoire parabolique ou hyperbolique.
Une trajectoire parabolique n'a qu'une seule direction asymptotique… elle part et revient à la fois dans cette direction. Il "atteint l'infini" avec une vitesse et une énergie nulles (et un objet lancé non verticalement avec une vitesse d'échappement entre dans une trajectoire parabolique).
Une trajectoire hyperbolique a deux asymptotes (non parallèles)… elle vient de l'une et retourne à l'autre. Il "atteint l'infini" avec une vitesse et une énergie positives.
J'essaie de comprendre les différents types de trajectoires. Premièrement, quels types d'objets ont des trajectoires hyperboliques ? Et comment différencier une trajectoire parabolique d'une trajectoire hyperbolique ?
Lorsqu'un vaisseau spatial effectue une manœuvre de survol devant une planète afin de gagner de la vitesse, il a une trajectoire hyperbolique par rapport à la planète. Il va trop vite pour être capturé par la planète, mais suffisamment près pour que son cours change.
Si vous prenez ce même vaisseau spatial et visez la même altitude au-dessus de la surface de la planète, mais que vous le ralentissez suffisamment, il sera capturé en orbite (son énergie devient « liée » au champ de gravité). Il s'agit bien entendu d'une trajectoire elliptique.
Une trajectoire parabolique est à l'équilibre entre hyperbolique et elliptique. En utilisant ce même vaisseau spatial, plus vite que parabolique est hyperbolique tout plus lent est elliptique.
Les orbites hyperboliques sont rares dans la nature mais existent. Lorsqu'un objet proche de la Terre passe près de la Terre, il a une trajectoire hyperbolique par rapport à la Terre. Bien sûr, il est également sur une orbite elliptique par rapport au soleil. Cette orbite elliptique sera décalée en raison du transfert d'énergie entre le champ de gravité terrestre et le NEO pendant le bref laps de temps pendant lequel le NEO se trouve dans l'"orbite" hyperbolique.
Une trajectoire asymptotique ne m'est pas familière et ressemble plus à un problème de professeur de mathématiques qu'à une situation réelle.
Énergie
Dans les hypothèses standard, l'énergie orbitale spécifique () de la trajectoire parabolique est nul, donc l'équation de conservation de l'énergie orbitale pour cette trajectoire prend la forme :
- est la vitesse orbitale du corps en orbite,
- est la distance radiale entre le corps en orbite et le corps central,
- est le paramètre gravitationnel standard.
Ceci est tout à fait équivalent à l'énergie caractéristique (carré de la vitesse à l'infini) étant 0 :
'We Don't Planet' Épisode 6: Types d'orbites
Lorsque Johannes Kepler a fait le saut intuitif au début des années 1600 pour réaliser que les orbites planétaires n'étaient pas circulaires, comme on l'avait supposé pendant des millénaires, il s'en est tenu à la fidèle ellipse. En effet, l'ellipse décrit avec précision et précision les mouvements de toutes les grandes planètes.
De ce point de vue, un cercle n'est qu'un cas particulier de l'ellipse, où l'excentricité (un terme qui, faute d'une meilleure expression, mesure "l'allongement" d'une ellipse) est exactement 0. Dans notre système solaire, Vénus et Neptune a des orbites presque circulaires avec des excentricités de 0,007 et 0,009, respectivement, tandis que Mercure a l'orbite la plus elliptique avec une excentricité de 0,206.
Mais les cercles et les ellipses ne sont eux-mêmes que des cas particuliers d'une classe plus générale de courbes appelées sections coniques. Si l'ellipticité d'une orbite est 0, elle est circulaire. S'il est compris entre 0 et 1, c'est une ellipse standard. Si l'ellipticité est égale à 1, c'est une orbite parabolique, et si supérieure à 1, hyperbolique.
Les orbites elliptiques et circulaires sont stables, donc bien sûr toutes les planètes sont caractérisées par ce genre d'excentricités. Dans une orbite parabolique ou hyperbolique, cependant, un objet s'approche d'un corps gravitationnel central à distance, se referme une seule fois et s'échappe vers l'infini. De nombreuses comètes suivent de telles trajectoires : elles peuvent orbiter paisiblement dans le nuage d'Oort pendant des milliards d'années, mais si elles sont perturbées, elles se retrouvent projetées sur une orbite hyperbolique, tombant dans le système solaire interne puis repartant dans le vide de l'espace interstellaire.
Un profil de mission de vaisseau spatial comprendra également plusieurs types d'orbites. Au lancement, une fusée peut être dans une trajectoire hyperbolique avant de se corriger et de s'installer sur une orbite elliptique stable autour de la Terre, suivie d'un coup de pouce à une trajectoire hyperbolique qui l'envoie vers une cible éloignée.
"We Don't Planet" est hébergé par l'astrophysicien de l'Ohio State University et scientifique en chef du COSI Paul Sutteravec l'étudiante de premier cycle Anna Voelker. Produit par Doug Dangler, Services technologiques ASC. Soutenu par l'Université d'État de l'Ohio Département d'Astronomieet Centre de cosmologie et d'astrophysique des particules. Vous pouvez suivre Paul sur Twitteret Facebook.
Paraboles, gravité et miroir du rayon de la mort d'Archimède
Passons aux paraboles. Historiquement, les paraboles ont joué un rôle clé dans la compréhension de la physique avant même les ellipses. En effet, un siècle avant le chef-d'œuvre de Newton, Galilée découvrit que les objets en chute libre décrivent tous des trajectoires paraboliques. De même, Marcus du Sautoy applique ce principe dans l'extrait suivant du documentaire de la BBC Le code:
À l'époque de Galilée, comprendre les mathématiques des objets en chute libre était essentiel pour concevoir des armes militaires, car cela permettait de prédire avec précision les trajectoires des boulets de canon !
La meilleure façon de visualiser les trajectoires des objets en chute libre est de regarder les fontaines d'eau. Considérons par exemple la fontaine à droite, avec la puissante tour Eiffel à l'arrière !
Merci. Maintenant, essayez de garder vos yeux loin de la tour Eiffel pour regarder le jet d'eau. Les gouttes d'eau décrivent des trajectoires paraboliques !
C'est à cause de ces frottements d'air ennuyeux! Pourtant, vous pouvez voir que, au moins jusqu'à ce que les frottements de l'air ne deviennent pas trop importants, les trajectoires correspondent à celles des paraboles. Et si vous ne croyez pas que les trajectoires d'objets en chute libre sont celles de paraboles, consultez l'image wikipedia d'une jolie fontaine ressemblant à une parabole !
Humm… Encore une fois, la seule explication que j'ai implique le pouvoir du calcul. Mais je ne vais pas m'attarder là-dessus. Une chose que vous devez savoir est que, dans le bon système de coordonnées, les coordonnées des points de la parabole sont données par l'équation $y=x^2$. Toutes les autres paraboles sont obtenues par homothétie et symétries classiques de cette parabole, tout comme les ellipses sont obtenues par déformation du cercle. Cela signifie qu'en étirant et en faisant pivoter une parabole le long des axes, vous pouvez créer n'importe quelle parabole ! En fait, si vous jouez Angry Birds, vous avez probablement une bonne idée de toutes les paraboles descendantes possibles !
Maintenant, il y a un corollaire assez impressionnant à cela. Si vous êtes dans un plan qui suit la courbe d'une parabole, alors vous aurez l'impression que la force de gravité a changé ! En particulier, si l'avion prend la trajectoire parabolique d'un objet en chute libre, vous vous sentirez en apesanteur dans l'avion ! N'est-ce pas incroyable !
C'est en fait exactement le même phénomène qui rend les astronautes en apesanteur ! Vérifiez l'explication impressionnante de Derek Muller sur Veritasium :
Et quelle trajectoire suivent les astronautes ? (Indice : ils sont en chute libre !)
Oui il y a! Une parabole est en fait une ellipse dont l'un des foyers est passé à l'infini !
Exactement! Maintenant, en fait, vous pouvez remarquer que $f$ devient presque égal à $a$. A la limite, on a en fait $e=f/a=1$ ! Cela signifie qu'une parabole est une sorte d'ellipse d'excentricité 1. En d'autres termes, une parabole est une ellipse infiniment aplatie. C'est pourquoi les trajectoires des objets en chute libre sur Terre ressemblent à des paraboles : ce sont des ellipses si aplaties qu'elles ne peuvent être distinguées des paraboles !
Vous êtes très perspicace ! En effet, à mesure qu'on augmente l'inclinaison d'une ellipse, on obtient de plus en plus d'ellipses aplaties, jusqu'à ce que, du coup, on obtienne une parabole ! Ceci est décrit ci-dessous.
Héhé, c'est une excellente question, mais bien au-delà de la portée de cet article. Vous devez creuser dans la génialité de la topologie pour y répondre !
Ceux qui ont encore du sens le font ! C'est notamment le cas de la propriété d'angle égal !
Au fur et à mesure que l'autre foyer tend vers l'infini, les lignes qui en sortent et frappent la partie de l'ellipse proche du premier foyer s'inclinent de moins en moins. En fait, il est pertinent et courant de considérer que les lignes venant d'un point à l'infini sont tous parallèles.
Oui! Plus précisément, les lignes parallèles à l'axe de symétrie sont réfléchies par la parabole vers le foyer. Cela correspond à la figure ci-dessous :
Maintenant, prenez cette parabole, et faites-en un solide de révolution en la faisant tourner le long de l'axe de symétrie. Vous obtenez alors ce qu'on appelle un paraboloïde circulaire. Un excellent moyen d'en obtenir un est de faire tourner un fluide dans une tasse, comme dans cette vidéo de l'incroyable initiative Toys from Trash d'Arvind Gupta.
Les paraboloïdes circulaires ont la propriété que toutes les intersections avec un plan qui contient l'axe de symétrie sont des paraboles avec le même foyer. La conséquence de cela est que, lorsqu'un message est envoyé de loin, puisque les signaux reçus sont parallèles, on peut très bien le capter en utilisant un miroir parabolique circulaire et en plaçant le récepteur au foyer ! C'est pourquoi les antennes en télécommunications sont paraboliques !
Mais cette idée n'est pas nouvelle. En fait, il a été inventé et exploité par Isaac Newton (oui, encore lui !), qui a conçu un télescope pour mieux observer les mouvements des étoiles et inventer ses lois de la mécanique !
Eh bien, en fait, il n'était pas le premier à penser à utiliser des miroirs paraboliques ! 2000 ans avant lui, le génie Archimède de Syracuse a utilisé la même idée pour défendre sa terre contre les envahisseurs romains : il a utilisé ces miroirs pour focaliser les rayons du soleil brûlants parallèles sur un seul point d'un navire ennemi pour le brûler ! L'extrait suivant est une vidéo que j'ai prise des Musei Capitolini à Rome, dans une exposition temporaire sur le savant grec :
Je connais! Malheureusement, cela n'a pas suffi à Syracuse pour résister à l'empire romain naissant. Cela a permis à Rome de découvrir d'innombrables inventions d'Archimède, que je crois être une étape clé vers sa domination de la mer Méditerranée ! En fait, il me semble qu'Archimède a ensuite été au sommet des connaissances humaines pendant les 2000 prochaines années, jusqu'à ce que Galilée redécouvre enfin certaines de ses brillantes réalisations !
Eh bien, les musulmans sont en fait les premiers à redécouvrir l'œuvre d'Archimède, qui les a probablement aidés à être la civilisation la plus développée à leur apogée. Mais assez d'histoire, revenons aux maths !
Contenu
À n'importe quelle position, le corps en orbite a la vitesse d'échappement pour cette position.
Si un corps a une vitesse de fuite par rapport à la Terre, cela ne suffit pas pour échapper au système solaire, donc près de la Terre, l'orbite ressemble à une parabole, mais plus loin elle se plie en une orbite elliptique autour du Soleil.
Cette vitesse ( v
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L'orbite elliptique ou orbite elliptique est une orbite Kepler avec une excentricité inférieure à 1 ceci inclut le cas particulier d'une orbite circulaire, avec une excentricité égale à 0. Orbite Kepler avec l'excentricité supérieure à 0 et inférieure à 1 . Wikipédia
Trajectoire de tout objet autour d'un corps central avec une vitesse plus que suffisante pour échapper à l'attraction gravitationnelle de l'objet central. L'orbite a la forme d'une hyperbole. Wikipédia
Paramètre angulaire qui définit la position d'un corps qui se déplace le long d'une orbite elliptique de Kepler. L'un des trois paramètres angulaires qui définissent une position le long d'une orbite, les deux autres étant l'anomalie vraie et l'anomalie moyenne. Wikipédia
Vecteur sans dimension avec une direction pointant de l'apoapsis au périapsis et avec une magnitude égale à l'excentricité scalaire de l'orbite. Constante de mouvement. Wikipédia
Vitesse angulaire requise pour qu'un corps termine une orbite, en supposant une vitesse constante sur une orbite circulaire qui se termine en même temps que l'orbite elliptique à vitesse variable du corps réel. Le concept s'applique aussi bien à un petit corps tournant autour d'un grand corps primaire massif qu'à deux corps de taille relativement identique tournant autour d'un centre de masse commun. Wikipédia
L'équation d'orbite définit la trajectoire du corps en orbite m_2,! autour du corps central m_1,! Wikipédia
L'orbite est la trajectoire gravitationnellement incurvée d'un objet, telle que la trajectoire d'une planète autour d'une étoile ou d'un satellite naturel autour d'une planète. Normalement, l'orbite fait référence à une trajectoire qui se répète régulièrement, bien qu'elle puisse également faire référence à une trajectoire non répétitive. Wikipédia
Somme constante de leur énergie potentielle mutuelle (epsilon_p) et de leur énergie cinétique totale (epsilon_k), divisée par la masse réduite. Selon l'équation de conservation de l'énergie orbitale (également appelée équation vis-à-vis), elle ne varie pas avec le temps : Wikipedia
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Les éléments orbitaux sont les paramètres requis pour identifier de manière unique une orbite spécifique. En mécanique céleste, ces éléments sont considérés dans des systèmes à deux corps utilisant une orbite de Kepler. Wikipédia
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L'objet orbite autour d'un corps céleste. Exprimé comme l'angle entre un plan de référence et le plan orbital ou l'axe de direction de l'objet en orbite. Wikipédia
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Affiliations
TEDA Applied Physics Institute et School of Physics, Nankai University, Tianjin, 300457, Chine
Juanying Zhao, Yi Hu, Daohong Song et Zhigang Chen
Science and Technology on Solid-State Laser Laboratory, Institut d'optique électronique de Chine du Nord, Pékin, 100015, Chine
Département de physique et d'astronomie, Université d'État de San Francisco, San Francisco, CA, 94132, États-Unis
Juanying Zhao, Peng Zhang et Zhigang Chen
Institut Max Planck pour la science de la lumière, 91058, Erlangen, Allemagne
Académie d'opto-électronique, Académie chinoise des sciences, Pékin, 100094, Chine
Département de mathématiques et de mathématiques appliquées, Université de Crète, 70013, Héraklion, Crète, Grèce